Der rote Faden
Die Klausurthemen wirken getrennt. Eigentlich trainierst du aber immer dieselbe Fähigkeit: Du sollst Funktionen und Graphen lesen, verändern und begründen.
1. Bogenmaß
Bogenmaß ist Winkelmessung über Kreisstrecken. Es ersetzt Grad nicht, sondern beschreibt denselben Winkel anders.
Bild im Kopf
Im Einheitskreis hat der ganze Kreisumfang die Länge 2π. Deshalb entspricht ein ganzer Umlauf 360° = 2π.
Je größer der Winkel, desto länger der Kreisbogen. Diese Bogenlänge ist das Bogenmaß.
Grad → Bogenmaß
Beispiel: 60° · π/180 = π/3
Bogenmaß → Grad
Beispiel: 3π/2 · 180/π = 270°
| Grad | Bogenmaß | Vorstellung |
|---|---|---|
| 30° | π/6 | ein Zwölftelkreis |
| 45° | π/4 | ein Achtelkreis |
| 60° | π/3 | ein Sechstelkreis |
| 90° | π/2 | ein Viertelkreis |
| 180° | π | halber Kreis |
| 360° | 2π | ganzer Kreis |
Typische Klausuraufgabe: 150° umrechnen
Rechne mit Grad · π/180:
Also gilt 150° = 5π/6.
2. Trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus sind Wellen. Die Parameter sagen, wie hoch, breit und verschoben diese Welle ist.
Grundform
| Parameter | Bedeutung |
|---|---|
| a | Höhe. Amplitude = |a|. |
| b | Breite. Periode = 2π / |b|. |
| c | Verschiebung rechts/links. |
| d | Verschiebung oben/unten. Mittellinie y=d. |
Auf dem Handy: Regler mit dem Daumen bewegen. Beobachte zuerst den Graphen, dann lies Amplitude und Periode ab.
Beispiel: f(x)=−3sin(2x)+1
Amplitude: |−3| = 3. Periode: 2π/2 = π. Mittellinie: y=1. Die Welle läuft von −2 bis 4.
3. Parameter bei Polynomfunktionen
Parameter sind Regler in der Funktionsgleichung. Sie verändern Form, Lage und Richtung des Graphen.
Graph: f(x)=a·x²+c. a steuert Öffnung und Steilheit, c verschiebt nach oben oder unten.
Parabel-Regeln
a > 0: öffnet nach oben.
a < 0: öffnet nach unten.
|a| > 1: schmaler und steiler.
0 < |a| < 1: breiter und flacher.
c: verschiebt den Graphen nach oben oder unten.
Allgemeines Polynom
Der Parameter d ist leicht zu erkennen: d=f(0). Er ist der y-Achsenabschnitt.
4. Eigenschaften von Polynomfunktionen
Polynome sind Funktionen ohne Brüche mit x im Nenner und ohne Wurzeln aus x. Du darfst jeden x-Wert einsetzen.
Gerader Grad
Beispiele: x², x⁴, −2x⁶+1.
Beide Enden zeigen in dieselbe Richtung.
Ungerader Grad
Beispiele: x³, x⁵, −x³+2x.
Die Enden zeigen in verschiedene Richtungen.
Graphen-Check
- Nullstellen: Wo schneidet der Graph die x-Achse?
- y-Achsenabschnitt: Welcher Wert ist f(0)?
- Hoch- und Tiefpunkte: Wo kehrt der Graph um?
- Symmetrie: achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?
- Endverhalten: Wohin gehen die Enden?
- Grad: gerade oder ungerade?
5. Funktion und Ableitung am Graphen erkennen
Die Ableitung ist nicht der Höhen-Graph. Sie ist der Steigungs-Graph.
Dann ist die Steigung positiv: f'(x) > 0.
Dann ist die Steigung negativ: f'(x) < 0.
Die Tangente ist waagerecht: f'(x)=0.
Blau ist f, grün gestrichelt ist f′. Bei Hoch- und Tiefpunkten von f trifft f′ die x-Achse.
6. Definitionsmenge und Wertemenge
D fragt nach erlaubten x-Werten. W fragt nach möglichen y-Werten.
Definitionsmenge D
Frage: Welche x-Werte darf ich einsetzen?
Bei Polynomfunktionen gilt:
Beispiel: In f(x)=x³−2x+1 darf jede reelle Zahl eingesetzt werden.
Wertemenge W
Frage: Welche y-Werte können herauskommen?
Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei −4.
7. Grenzwerte bei gebrochen-rationalen Funktionen
Gebrochen-rationale Funktionen sind Brüche mit x. Wichtig sind verbotene Stellen und das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte.
Verbotene Stellen
Der Nenner darf nicht 0 werden.
Also ist x=2 verboten: D = ℝ \ {2}.
Grenzwert für x → ∞
Vergleiche die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.
| Fall | Ergebnis |
|---|---|
| Grad oben < Grad unten | Grenzwert 0 |
| Grad oben = Grad unten | Quotient der führenden Koeffizienten |
| Grad oben > Grad unten | kein endlicher waagerechter Grenzwert |
Beispiel: (2x²+1)/(x²−3)
Oben und unten ist der höchste Grad 2. Also vergleicht man die Zahlen vor x²:
Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote y=2.
8. Mini-Trainer
Kurze Karten zum Wiederholen. Tippe auf „Antwort zeigen“.
9. Prüfungsquiz
Gib die Antworten kurz ein. Erlaubt sind zum Beispiel π/2, pi/2, 240.
Checkliste vor der Klausur
- Ich kann Grad in Bogenmaß umrechnen.
- Ich kenne 0, π/2, π, 3π/2, 2π.
- Ich kann Amplitude und Periode bestimmen.
- Ich erkenne die Wirkung von a, b, c und d.
- Ich kann den y-Achsenabschnitt bestimmen.
- Ich kann Endverhalten von Polynomen beschreiben.
- Ich erkenne den Zusammenhang zwischen f und f′.
- Ich unterscheide Definitionsmenge und Wertemenge.
- Ich finde verbotene Stellen bei Brüchen.
- Ich bestimme einfache Grenzwerte über höchste Potenzen.